Core:Esencial: Every later lesson in this unit uses these words (term, degree, leading coefficient) and the habit of combining only like terms. Regents questions about equivalent expressions start here.Todas las lecciones siguientes de esta unidad usan estas palabras (término, grado, coeficiente principal) y el hábito de combinar solo términos semejantes. Las preguntas del Regents sobre expresiones equivalentes empiezan aquí.
A polynomial is a sum of terms like 4x², −3x and 7. Terms with the same variable part are like terms, and only those combine, the same way 3 apples + 2 apples is 5 apples but 3 apples + 2 pears stays as it is. Writing the terms from highest exponent to lowest is standard form; the highest exponent is the degree and the number in front of that term is the leading coefficient.Un polinomio es una suma de términos como 4x², −3x y 7. Los términos con la misma parte variable son semejantes, y solo esos se combinan, igual que 3 manzanas + 2 manzanas son 5 manzanas, pero 3 manzanas + 2 peras se queda así. Escribir los términos del exponente mayor al menor es la forma estándar; el exponente mayor es el grado y el número delante de ese término es el coeficiente principal.
(6x² − x + 2) − (2x² + 3x − 5)Resta (6x² − x + 2) − (2x² + 3x − 5)| (6x² − x + 2) − (2x² + 3x − 5) | StartInicio |
| 6x² − x + 2 − 2x² − 3x + 5 | The minus reaches every term in the second groupEl signo menos llega a cada término del segundo grupo |
| (6x² − 2x²) + (−x − 3x) + (2 + 5) | Group like termsAgrupa términos semejantes |
| 4x² − 4x + 7 | Combine; standard form, degree 2Combina; forma estándar, grado 2 |
Add (3x² − 4x + 1) + (x² + 6x − 8)Suma (3x² − 4x + 1) + (x² + 6x − 8)
Hint: line up the x² terms, the x terms, and the numbers.Pista: alinea los términos x², los términos x y los números.
| (3x² + x²) + (−4x + 6x) + (1 − 8) | Group like termsAgrupa términos semejantes |
| 4x² + 2x − 7 | CombineCombina |
Check at x = 1: Comprobación con x = 1: 0 + (−1) = −1 and 4 + 2 − 7 = −1 ✓0 + (−1) = −1 y 4 + 2 − 7 = −1 ✓
Simplify all 10 on paper and write each answer in standard form. The first two are started for you; #9–10 are a challenge. Check each answer by plugging in x = 1.Simplifica los 10 en papel y escribe cada respuesta en forma estándar. Los dos primeros están iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba cada respuesta sustituyendo x = 1.
Core:Esencial: Part II multiplying (3 of 6 exams) and "equivalent expression" questions.Multiplicar en la Parte II (3 de 6 exámenes) y preguntas de "expresión equivalente".
Multiplying polynomials is the distributive property, extended: every term in the first factor must "shake hands" with every term in the second. For two binomials, that's FOIL — First, Outer, Inner, Last.Multiplicar polinomios es la propiedad distributiva ampliada: cada término del primer factor debe "saludar" a cada término del segundo. Para dos binomios, eso es FOIL — Primeros, Externos, Internos, Últimos.
(x + 3)(x + 5)Multiplica (x + 3)(x + 5)| (x + 3)(x + 5) | Two binomialsDos binomios |
| x · x = x² | FirstPrimeros |
| 5x + 3x = 8x | Outer + InnerExternos + Internos |
| 3 · 5 = 15 | LastÚltimos |
| x² + 8x + 15 | CombineCombina |
Multiply (x + 2)(x + 4)Multiplica (x + 2)(x + 4)
Hint: FOIL, then combine the middle terms.Pista: FOIL, luego combina los términos del medio.
| x² + 4x + 2x + 8 | FOILFOIL |
| x² + 6x + 8 | CombineCombina |
Check: Comprobación: x² + 6x + 8 ✓x² + 6x + 8 ✓
Multiply all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check each answer by plugging in x = 1.Multiplica los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba cada respuesta sustituyendo x = 1.
Core:Esencial: Take out the GCF first, as in x³ − 36x.Saca primero el MCD, como en x³ − 36x.
Factoring is multiplying in reverse. The first move, always, is to pull out the greatest common factor — the biggest thing every term shares. It's un-distributing.Factorizar es multiplicar al revés. El primer paso, siempre, es sacar el factor común mayor — lo más grande que comparten todos los términos. Es des-distribuir.
6x² + 9xFactoriza 6x² + 9x| 6x² + 9x | Find the GCF of both termsHalla el MCD de ambos términos |
| GCF = 3xMCD = 3x | 3 divides 6 & 9; x is in both3 divide a 6 y 9; x está en ambos |
| 3x(2x + 3) | Divide each term by 3xDivide cada término entre 3x |
Factor 4x² + 8xFactoriza 4x² + 8x
Hint: What number and variable divide both terms?Pista: ¿Qué número y variable dividen ambos términos?
| GCF = 4xMCD = 4x | 4 divides both; x in both4 divide ambos; x en ambos |
| 4x(x + 2) | Divide each termDivide cada término |
Check: Comprobación: 4x(x + 2) ✓4x(x + 2) ✓
Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.
Core:Esencial: Difference of squares: 5 of 6 exams.Diferencia de cuadrados: 5 de 6 exámenes.
When you see a² − b² — a perfect square minus a perfect square — it factors instantly into (a − b)(a + b), conjugates whose middle terms cancel. But a SUM of squares, a² + b², does not factor.Cuando ves a² − b² — un cuadrado perfecto menos otro — se factoriza al instante en (a − b)(a + b), conjugados cuyos términos medios se cancelan. Pero una SUMA de cuadrados, a² + b², no se factoriza.
x² − 25Factoriza x² − 25| x² − 25 | Both are perfect squaresAmbos son cuadrados perfectos |
| = (x)² − (5)² | Recognize a² − b²Reconoce a² − b² |
| = (x − 5)(x + 5) | (a − b)(a + b)(a − b)(a + b) |
Factor x² − 49Factoriza x² − 49
Hint: √x² = x and √49 = 7.Pista: √x² = x y √49 = 7.
| (x)² − (7)² | Both perfect squaresAmbos cuadrados perfectos |
| (x − 7)(x + 7) | (a − b)(a + b)(a − b)(a + b) |
Check: Comprobación: (x − 7)(x + 7) ✓(x − 7)(x + 7) ✓
Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.
Core:Esencial: Finding zeros (4 of 6) and linear-quadratic systems (5 of 6) depend on it.Hallar ceros (4 de 6) y sistemas lineal-cuadráticos (5 de 6) dependen de esto.
To factor x² + bx + c, find two numbers that MULTIPLY to c and ADD to b. Those two numbers become the constants in (x + ?)(x + ?). It's FOIL run backwards.Para factorizar x² + bx + c, halla dos números que MULTIPLIQUEN a c y SUMEN a b. Esos dos números son las constantes en (x + ?)(x + ?). Es FOIL al revés.
x² + 7x + 12Factoriza x² + 7x + 12| x² + 7x + 12 | Need two numbers: × = 12, + = 7Necesitas dos números: × = 12, + = 7 |
| 3 and 43 y 4 | 3·4 = 12 and 3 + 4 = 73·4 = 12 y 3 + 4 = 7 |
| (x + 3)(x + 4) | Those numbers go in the binomialsEsos números van en los binomios |
Factor x² + 5x + 6Factoriza x² + 5x + 6
Hint: Two numbers: × = 6, + = 5.Pista: Dos números: × = 6, + = 5.
| 2 and 32 y 3 | 2·3 = 6, 2 + 3 = 52·3 = 6, 2 + 3 = 5 |
| (x + 2)(x + 3) |
Check: Comprobación: (x + 2)(x + 3) ✓(x + 2)(x + 3) ✓
Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.
Less common:Menos común: Appears now and then. The calculator or the quadratic formula is the backup.Aparece de vez en cuando. La calculadora o la fórmula cuadrática sirven de respaldo.
When the leading number isn't 1, you can't just find two numbers for c — the front coefficient gets in the way. The AC method finds the hidden pair by multiplying a·c, then splits the middle term so you can factor by grouping.Cuando el número principal no es 1, no basta hallar dos números para c — el coeficiente del frente estorba. El método AC halla el par oculto multiplicando a·c, luego divide el término medio para factorizar por agrupación.
3x² + 10x + 8Factoriza 3x² + 10x + 8| a · c = 3 · 8 = 24 | Multiply the outer coefficientsMultiplica los coeficientes externos |
| 6 and 46 y 4 | × = 24 and + = 10× = 24 y + = 10 |
| 3x² + 6x + 4x + 8 | Split the middle termDivide el término medio |
| 3x(x + 2) + 4(x + 2) | Factor by groupingFactoriza por agrupación |
| (3x + 4)(x + 2) | Common factor (x + 2)Factor común (x + 2) |
Factor 2x² + 7x + 3Factoriza 2x² + 7x + 3
Hint: a · c = 6 — two numbers × = 6, + = 7.Pista: a · c = 6 — dos números × = 6, + = 7.
| a · c = 6 → 6 and 1a · c = 6 → 6 y 1 | × = 6, + = 7× = 6, + = 7 |
| 2x² + 6x + x + 3 | Split the middleDivide el medio |
| 2x(x + 3) + 1(x + 3) | GroupAgrupa |
| (2x + 1)(x + 3) | Common factorFactor común |
Check: Comprobación: (2x + 1)(x + 3) ✓(2x + 1)(x + 3) ✓
Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.
Foundation:Base: The decision step that ties the factoring lessons together.El paso de decisión que une las lecciones de factorización.
By now you know several factoring moves — GCF, difference of squares, and trinomials. The hard part isn't any one method; it's knowing which to reach for. This lesson is your factoring flowchart.Ya conoces varios movimientos — MCD, diferencia de cuadrados y trinomios. Lo difícil no es un método; es saber cuál usar. Esta lección es tu diagrama de flujo.
Factor completely: 2x² − 18Factoriza por completo: 2x² − 18
Hint: GCF first — what do both terms share? Then how many terms are left?Pista: MCD primero — ¿qué comparten? Luego, ¿cuántos términos quedan?
| GCF = 2 → 2(x² − 9)MCD = 2 → 2(x² − 9) | Pull the GCFSaca el MCD |
| x² − 9 = difference of squares | Two terms, both squaresDos términos, ambos cuadrados |
| 2(x − 3)(x + 3) | Factor completelyFactoriza por completo |
Check: Comprobación: 2(x − 3)(x + 3) ✓2(x − 3)(x + 3) ✓
Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.
You finished seven lessons. Before Unit 8, take a few minutes to look back and be honest with yourself about each one.Terminaste siete lecciones. Antes de la Unidad 8, tómate unos minutos para mirar atrás y ser honesto contigo mismo sobre cada una.
Factoring keeps coming back. In Unit 8 you use it to find the zeros of quadratic functions, and it shows up in Regents questions about equivalent expressions and solving. Getting these seven lessons solid now makes Unit 8 easier to follow.La factorización vuelve una y otra vez. En la Unidad 8 la usas para encontrar los ceros de las funciones cuadráticas, y aparece en preguntas del Regents sobre expresiones equivalentes y sobre resolver ecuaciones. Dominar estas siete lecciones ahora hace que la Unidad 8 sea más fácil de seguir.
Tap a lesson to reopen it.Toca una lección para volver a abrirla.
Combine only like terms, and write the answer from highest exponent to lowest.Combina solo términos semejantes y escribe la respuesta del exponente mayor al menor.
Watch for: when subtracting, the minus changes every sign in the second group.Cuidado: al restar, el menos cambia cada signo del segundo grupo.
Every term in the first factor multiplies every term in the second.Cada término del primer factor multiplica a cada término del segundo.
Watch for: (x + 3)(x + 5) is x² + 8x + 15, not x² + 15.Cuidado: (x + 3)(x + 5) es x² + 8x + 15, no x² + 15.
Always take out the whole GCF first: the number and the variable.Siempre saca primero el MCD completo: el número y la variable.
Watch for: 6x² + 9x is 3x(2x + 3), not 3(2x² + 3x).Cuidado: 6x² + 9x es 3x(2x + 3), no 3(2x² + 3x).
a² − b² factors into (a − b)(a + b).a² − b² se factoriza como (a − b)(a + b).
Watch for: x² + 25 is a sum of squares. It does not factor.Cuidado: x² + 25 es una suma de cuadrados. No se factoriza.
Find two numbers that multiply to c and add to b.Busca dos números que multiplicados den c y sumados den b.
Watch for: x² + x − 6 is (x + 3)(x − 2). The signs matter.Cuidado: x² + x − 6 es (x + 3)(x − 2). Los signos importan.
Use a · c, split the middle term, then factor by grouping.Usa a · c, separa el término del medio y factoriza por agrupación.
Watch for: use a · c, not c alone. 3x² + 10x + 8 needs 24, not 8.Cuidado: usa a · c, no solo c. 3x² + 10x + 8 necesita 24, no 8.
GCF first, count the terms, pick the method, then factor completely.Primero el MCD, cuenta los términos, escoge el método y factoriza por completo.
Watch for: 2x² + 8x + 6 is 2(x + 1)(x + 3). Take out the 2 first.Cuidado: 2x² + 8x + 6 es 2(x + 1)(x + 3). Saca el 2 primero.
5 means “I have mastered this.” 1 means “I need more practice. Give me more options.” There is no wrong answer. Your ratings build your next steps.5 significa «Ya lo domino». 1 significa «Necesito más práctica. Dame más opciones». No hay respuestas incorrectas. Tus calificaciones arman tus próximos pasos.
Wherever you land, you have more options. Work your plan, then take the exit ticket again. Move on to Unit 8 when every lesson is a 4 or 5.Estés donde estés, tienes más opciones. Sigue tu plan y luego vuelve a hacer el boleto de salida. Pasa a la Unidad 8 cuando cada lección tenga 4 o 5.
Take the Unit 7 exit ticket →Hacer el boleto de salida de la Unidad 7 →Mod. Worksheets show each problem worked out first, then the help fades and you take over. You can work them on your own, with no extra directions from your teacher. For Lesson 7.7, Finish the Steps mixes all the factoring types, with the first step started for you.Las hojas modificadas muestran cada problema resuelto primero; luego la ayuda desaparece y tú sigues. Puedes hacerlas por tu cuenta, sin instrucciones extra de tu maestro. Para la Lección 7.7, Completa los pasos mezcla todos los tipos de factorización, con el primer paso empezado.
More in Printables: Guided Practice, Lesson Worksheets, and graph paper.Más en Imprimibles: práctica guiada, hojas de lección y papel cuadriculado.