Unit 7 · Polynomials & FactoringUnidad 7 · Polinomios y factorización

Finish the StepsCompleta los pasos

The first step is started for you — a product distributed, a GCF pulled, or one factor given — then you complete it and explain the reasoning on paper. Your teacher has the key.El primer paso está empezado — un producto distribuido, un MCD extraído, o un factor dado — luego lo completas y explicas el razonamiento en papel. Tu maestro tiene la clave.

How to use this: Each problem has the first step started — distributed, GCF pulled, or one factor written for you. Complete it, answer the Prove the why question, and show your work on a separate sheet of paper. Hand your paper to your teacher, who has the key. There is no answer button here on purpose — on the exam you earn points for the work and the reasoning, not just the answer. Cómo usarla: Cada problema tiene el primer paso empezado — distribuido, MCD extraído, o un factor escrito. Complétalo, responde Explica el porqué y muestra tu trabajo en una hoja aparte. Entrega tu hoja a tu maestro, que tiene la clave. Aquí no hay botón de respuesta a propósito — en el examen ganas puntos por el trabajo y el razonamiento, no solo por la respuesta.

🎬 Not sure where to start? Go back to the Unit 7 lesson and its videos, then try again — the goal is to explain why, not just get a number.🎬 ¿No sabes por dónde empezar? Regresa a la lección de la Unidad 7 y sus videos y vuelve a intentarlo — la meta es explicar el porqué, no solo dar un número.

1 / 6 Multiply binomials (FOIL)Multiplicar binomios (FOIL)

Multiply (x + 2)(x + 5)Multiplica (x + 2)(x + 5)

FOIL — distribute every term ↓FOIL — distribuye cada término ↓

x(x + 5) + 2(x + 5)

x² + 5x + 2x + 10

RuleRegla Multiply every term in the first by every term in the second, then combine like terms.Multiplica cada término del primero por cada término del segundo, luego combina términos semejantes.

Your turn — combine 5x + 2xTu turno — combina 5x + 2x

Prove the whyExplica el porquéWhy do the two middle terms combine into one?¿Por qué los dos términos del medio se combinan en uno?

2 / 6 Factor · greatest common factorFactorizar · máximo común divisor

Factor 6x² + 15xFactoriza 6x² + 15x

the GCF is 3x — pull it out ↓el MCD es 3x — extráelo ↓

6x² + 15x

3x( ?? )

RuleRegla Pull out the GCF, then divide each term by it to find what stays inside.Extrae el MCD, luego divide cada término entre él para hallar lo que queda dentro.

Your turn — divide each term by 3xTu turno — divide cada término entre 3x

= 3x( )

Prove the whyExplica el porquéWhy does factoring out 3x leave 2x + 5 inside?¿Por qué al factorizar 3x queda 2x + 5 dentro?

3 / 6 Difference of squaresDiferencia de cuadrados

Factor x² − 49Factoriza x² − 49

difference of squares: √x² = x, √49 = 7 ↓diferencia de cuadrados: √x² = x, √49 = 7 ↓

x² − 49

(x + )(x − )

RuleRegla a² − b² = (a + b)(a − b) — take the square root of each term.a² − b² = (a + b)(a − b) — saca la raíz cuadrada de cada término.

Your turn — fill both blanksTu turno — llena ambos espacios

Prove the whyExplica el porquéWhy is there no middle x-term in x² − 49?¿Por qué no hay término del medio en x² − 49?

4 / 6 Factor a trinomial · complete the pairFactorizar un trinomio · completa el par

Factor x² + 8x + 15Factoriza x² + 8x + 15

find two numbers that multiply to 15 and add to 8 ↓halla dos números que multipliquen a 15 y sumen 8 ↓

x² + 8x + 15

(x + 3)(x + ??)

RuleRegla Find two numbers that multiply to c (15) and add to b (8).Halla dos números que multipliquen a c (15) y sumen b (8).

Your turn — what number completes the pair?Tu turno — ¿qué número completa el par?

= (x + 3)(x + )

Prove the whyExplica el porquéWhy must the two numbers multiply to 15 AND add to 8?¿Por qué los dos números deben multiplicar a 15 Y sumar 8?

5 / 6 Trinomial · negative constantTrinomio · constante negativa

Factor x² + 3x − 10Factoriza x² + 3x − 10

negative constant → opposite signs; factors of 10 that differ by 3 ↓constante negativa → signos opuestos; factores de 10 que difieren en 3 ↓

x² + 3x − 10

(x + 5)(x − ??)

RuleRegla Negative constant → the signs are opposite. The numbers multiply to c and add to b.Constante negativa → los signos son opuestos. Los números multiplican a c y suman b.

Your turn — complete the pairTu turno — completa el par

= (x + 5)(x − )

Prove the whyExplica el porquéWhy must the signs be opposite here?¿Por qué los signos deben ser opuestos aquí?

6 / 6 Factor completely · GCF then squaresFactoriza por completo · MCD y luego cuadrados

Factor completely 2x² − 18Factoriza por completo 2x² − 18

pull the GCF 2 first ↓extrae el MCD 2 primero ↓

2x² − 18

2(x² − 9)

now x² − 9 is a difference of squares ↓ahora x² − 9 es una diferencia de cuadrados ↓

2(x² − 9)

2(x + 3)(x − ??)

RuleRegla Always factor the GCF first, then look for more (like a difference of squares).Siempre factoriza el MCD primero, luego busca más (como una diferencia de cuadrados).

Your turn — finish the factoringTu turno — termina de factorizar

Prove the whyExplica el porquéWhy factor out the 2 before the difference of squares?¿Por qué factorizar el 2 antes de la diferencia de cuadrados?

Show Your Work · On PaperMuestra tu trabajo · En papel

The Real Test — Show Your WorkLa prueba real — Muestra tu trabajo

No printer needed. On your own paper, for each problem:No necesitas impresora. En tu propia hoja, para cada problema:

Copy the problem exactly.Copia el problema tal cual.
Show every step of your solution — line by line.Muestra cada paso de tu solución — línea por línea.
Box your final answer.Encierra tu respuesta final.

1.MultiplyMultiplica3x² · 5x⁴

2.MultiplyMultiplica(x + 3)(x + 4)

3.MultiplyMultiplica(x − 5)(x + 2)

4.FactorFactoriza8x² + 12x (GCF)

5.FactorFactoriza10x³ − 15x² (GCF)

6.FactorFactorizax² − 64

7.FactorFactoriza4x² − 9

8.FactorFactorizax² + 9x + 20

9.FactorFactorizax² − 7x + 12

10.FactorFactorizax² + 2x − 15

11.FactorFactorizacompletely: 3x² − 27

12.FactorFactorizacompletely: 2x² + 10x + 12

Writing the problem out by hand is part of the practice. When you finish, hand your paper to your teacher, who has the worked solutions in the Teacher key (button at the top). On the exam, the points are in the work.Escribir el problema a mano es parte de la práctica. Al terminar, entrega tu hoja a tu maestro, que tiene las soluciones en la Clave del maestro (botón arriba). En el examen, los puntos están en el trabajo.

🔑 Teacher Key — Unit 7 Finish the StepsClave del maestro — Unidad 1

Enter the class password to view worked solutions and answers.Ingresa la contraseña para ver las soluciones y respuestas.

#	Worked stepsPasos resueltos	AnswerResp.
1	x(x+5) + 2(x+5) = x² + 5x + 2x + 10 → x² + 7x + 10 why: 5x and 2x are like terms, so they add into one middle term.	x² + 7x + 10
2	GCF = 3x; 6x² ÷ 3x = 2x, 15x ÷ 3x = 5 → 3x(2x + 5) why: 3x is the largest factor in both terms; dividing it out leaves 2x + 5.	3x(2x + 5)
3	√x² = x, √49 = 7 → (x + 7)(x − 7) why: the +7x and −7x cancel, so there is no middle term.	(x + 7)(x − 7)
4	factors of 15 that add to 8: 3 and 5 → (x + 3)(x + 5) why: the outer + inner give the middle term (add to 8); the two numbers give the constant (multiply to 15).	(x + 3)(x + 5)
5	opposite signs; 5 · (−2) = −10 and 5 + (−2) = 3 → (x + 5)(x − 2) why: opposite signs are needed to multiply to a negative constant.	(x + 5)(x − 2)
6	2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3) why: removing the common 2 first exposes x² − 9, a clean difference of squares.	2(x + 3)(x − 3)

SWOP — worked solutionsSWOP — soluciones

#	Worked stepsPasos	AnswerResp.
1	3·5 = 15; x^(2+4)	15x⁶
2	x² + 4x + 3x + 12 → combine	x² + 7x + 12
3	x² + 2x − 5x − 10 → combine	x² − 3x − 10
4	GCF = 4x → 4x(2x + 3)	4x(2x + 3)
5	GCF = 5x² → 5x²(2x − 3)	5x²(2x − 3)
6	√x² = x, √64 = 8	(x + 8)(x − 8)
7	√4x² = 2x, √9 = 3	(2x + 3)(2x − 3)
8	4·5 = 20, 4 + 5 = 9	(x + 4)(x + 5)
9	(−3)(−4) = 12, −3 − 4 = −7	(x − 3)(x − 4)
10	5·(−3) = −15, 5 + (−3) = 2	(x + 5)(x − 3)
11	GCF 3: 3(x² − 9) = 3(x + 3)(x − 3)	3(x + 3)(x − 3)
12	GCF 2: 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3)	2(x + 2)(x + 3)

What to look for on the paper: both-sides operations lined up, the result of each step written out, and a boxed final answer. Award credit for correct steps even if the final number slips.Qué buscar en la hoja: operaciones en ambos lados alineadas, el resultado de cada paso escrito y la respuesta final encerrada. Da crédito por los pasos correctos aunque el número final falle.

Security note: this is a client-side gate — it stops casual peeking but the answers can be read by viewing page source. For real protection on IONOS, put this file behind .htaccess Basic Auth like your PDF keys. Password is the same as the Regents Trainer; change TEACHER_PW in the source to update it. Nota de seguridad: esta es una barrera del lado del cliente — evita el vistazo casual, pero las respuestas se pueden ver en el código fuente. Para protección real en IONOS, coloca este archivo detrás de .htaccess como tus claves en PDF. La contraseña es la misma que la del Regents Trainer; cambia TEACHER_PW en el código para actualizarla.